Отрицание антецедента является формальной ошибкой, то есть логической ошибкой, которую можно распознать по форме, а не только по содержанию. Она имеет вид:

Если А верно, то Б верно.
А неверно.
Следовательно, Б неверно.

А и Б представляют различные заявления. Заявление в форме «если А, то Б» называется условный оператор. А называется антецедент, Б называется консеквент условного заявления. Аргументы с отрицанием антецедента ложны, потому что они являются недействительными. Недействительность означает, что их выводы не вытекают из предпосылок, причем может быть так, что предпосылки истинны, а выводы ложны. Веским аргументом является тот, в котором вывод вытекает из его предпосылок.

Ниже приведены некоторые примеры ошибочного отрицания антецедента:

Если атеизм это правда, то я теряю время, молясь о дожде. Атеизм неправда. Таким образом, я не теряю время, молясь о дожде.

Если иглоукалывание шарлатанство, то верить, что уколы уменьшают боль, абсурдно. Иглоукалывание не шарлатанство.
Таким образом, верить, что уколы уменьшают боль, не абсурдно.

Если подозреваемый показывает изменение кожно-гальванической реакции (от потливости), то он лжет. Подозреваемый не показал изменение кожно-гальванической реакции.
Таким образом, подозреваемый не лжет.

В каждом из приведенных выше примеров ошибочного отрицания антецедента предпосылка может быть истинной, но вывод не вытекает из предпосылки. Недействительность этих аргументов не имеет ничего общего с их содержанием и обусловлено исключительно их ошибочной формой. Заявление «Б неверно» никогда не следует из заявления «если А, то Б, если А неверно, то». Правда, ошибочный вывод не всегда является ложным. Например, следующие примеры, хоть и ошибочны по форме, но имеют истинные выводы:

Если президент Обама мусульманин, то он не христианин.
Он не мусульманин.
Так, президент Обама не не христианин (то есть, он христианин).

Если президент Обама родился в Нигерии, то он не американский гражданин.
Он не был рожден в Нигерии.
Так, президент Обама не не американский гражданин (то есть, он является американским гражданином).

Нерелевантные ссылки на традицию ошибка в рассуждениях, которая утверждает, что практика или вера может быть оправдана только потому, что существует давно и имеет историческое значение.

Сколько лет что-то практикуется, само по себе не оправдывает эту практику. Тот факт, что магическое мышление сохраняется во многих областях современной жизни, не означает, что магическое мышление превосходит другие методы. Вместо того, чтобы ориентироваться на примитивизм наших предков, мы были бы лучше, если бы мы пытались понять, почему эти первичные способы оценки опыта сохраняются и что мы могли бы сделать, чтобы преодолеть тенденцию мыслить, как наши невежественные предшественники.

Обращение к авторитету ошибочно и не нужно, когда упоминаемый авторитет таким не является. Например, апеллировать к Эйнштейну, чтобы поддержать религию, значит сделать бессмысленную ссылку на авторитет.

Эйнштейн был специалистом в области физики, а не религии. Однако, даже если бы он был раввином, обратиться к раввину Эйнштейну как к доказательству того, что Бог существует, будет также бессмысленно, потому что религия является по самой своей природе спорной областью. Мало того, что религиозные эксперты расходятся во мнениях о фундаментальных вопросах религии, многие люди полагают, что сама религия является ложной. Обращение к неспециалистам как если бы они были специалистами в спорных областях и приведение их как свидетельство веры не имеет никакого отношения доказательству веры.

Не значащее апеллирование к авторитету является одним из видов генетических заблуждений, попыткой судить веру по ее происхождению, а не разбирать аргументы за и против веры. Если вера есть у авторитетного человека, то она правдива. Однако даже авторитетные лица могут иметь ложные убеждения.

Апеллирование к авторитету не становятся релевантным, когда вместо одного источника цитируется несколько экспертов, которые считают что вера истинна. Если авторитеты говорят за пределами своей области знаний или объект дискуссии спорный, нагромождения длинных списков сторонников не делает аргументы более весомыми. В любом спорном вопросе есть одинаково компетентные эксперты по разные стороны баррикад. Если спорное утверждение можно назвать истинным только потому, что оно поддерживается специалистами, то это означает «истинность» противоположных убеждений, что является абсурдом. Истинность или ложность, разумность или неразумность утверждения должны устанавливаться независимо от тех, кто принимает или отвергает его.

Наконец, следует отметить, что нерелевантные ссылки на авторитет показывают некомпетентность утверждающего. Более того, авторитет должен судить о собственной области знаний и другие эксперты не должны считать обсуждаемый вопрос спорным. В таких областях, как физика, разумно доверять заявлению, сделанному физиком, которое поддерживают другие физики. Они поддерживают мнение коллеги, потому что есть убедительные доказательства в его поддержку. Такие убеждения могут оказаться ложными, конечно, но никакая вера не становится истинной только потому, что в нее верит авторитетный человек.